[La trama molteplice del
calcolo
Per molto tempo
dimenticato, la Bollati Boringhieri ha riproposto «I paradossi dell'infinito»,
uno dei testi fondamentali del filosofo di origime boema Bernard Napomuk
Bolzano che ha posto le basi della moderna logica matematica e della teoria
degli insiemi
Nella primavera del 2001
mi trovavo a Praga. La città, gelida e bellissima, sembrava esser stata
sottoposta, in previsione dell'arrivo di tanti turisti, soprattutto italiani, a
una sorta di maquillage che la rendeva, se possibile,
ancora più splendente. In pieno centro era stata allestita una piccola galleria
dedicata a una delle glorie di Praga - ove era nato nel 1781 - Bernard Nepomuk Bolzano,
sacerdote, matematico e filosofo che durante la «guerra fredda» era stato
clamorosamente ignorato. Nonostante fosse, con Keplero, uno dei suoi cittadini
eminenti, era considerato, in quegli anni, una personalità incompatibile con il
regime vigente. Sue colpe «oggettive» l'origine italiana e, soprattutto, l'aver
scritto sempre in tedesco. Ricordo ancora di aver trovato non poche difficoltà
nel reperire, nel 1974, all'Ambasciata cecoslovacca di Roma una qualche
immagine del personaggio (mi occorreva per la pubblicazione, per i tipi di
Comunità, del mio libro, Bernard Bolzano e la dottrina della scienza, 1974). Da un funzionario
dell'ambasciata mi era stato negato qualsiasi aiuto sulla scorta della
considerazione che «Bolzano non è importante». Oggi nella Repubblica Ceca è
tutto cambiato e, dopo decenni di strategia della disattenzione, l'importanza
di Bolzano nella cultura matematica e filosofica moderna è nuovamente
riconosciuta. Naturalmente non credo sia il caso di unirsi al coro di quanti osannano
la fine del socialismo reale in Boemia solo perché i Cechi hanno tratto
dall'oblio Bolzano e, d'altronde, è destino dei dotti andare negletti per
ragioni politiche sbagliate per essere, poi, per motivi altrettanto
discutibili, riconosciuti. Ma di questo basta. Le ragioni dell'attualità di
Bolzano sono, comunque, davvero molte e bene ha fatto la Bollati Boringhieri
nel riproporre la bella traduzione di Alberto Conte (Silva, Milano 1963) - cui
seguì nel 1965, per i tipi di Feltrinelli, la versione di Carla Sborgi, rivista
da Corrado Mangione e da chi scrive dei Paradoxien des Unendlichen (I paradossi dell'infinito, pp. 147, € 14). La prima di
queste ragioni è ovviamente matematica. Nei Paradossi dell'infinito, pubblicati postumi nel 1851,
Bolzano affronta decisamente una serie di «tormentoni» matematici secolari che
concernono la possibilità di «contare l'infinito». In parte si tratta di
vecchie contraddizioni che investono il concetto stesso di quantità che, per
definizione ed essenza, rinvia, stando alla classica definizione di Eubulide di
Mileto, a una «molteplicità determinata», dunque finita.
Si tratta, tuttavia, di contraddizioni in parte superate già
da Leibniz, con la messa a punto dell'analisi infinitesimale, per il quale è
comunque sempre possibile operare il calcolo, introducendo il concetto di
limite, che non è propriamente una grandezza infinitesima, quanto piuttosto una
funzione. E' questa la ragione per cui
Leibniz, in un luogo cruciale dei Nouveaux Essais,
afferma, nella sua disputa con Locke, «Signore, non abbiate paura della
'tartaruga'- simbolo, dall'età di Zenone e del suo celebre paradosso dei due
corridori (Achille e il lentissimo animale) - ché basta calcolare». Tuttavia,
per molti aspetti, questo non basta. Innanzitutto, anche se sappiamo che una
quantità è una molteplicità determinata, non sappiamo, tuttavia, che cosa sia
una «molteplicità», né i sensi possono aiutarci granché, giacché, per dirla in
modo forse un po' rozzo, non esiste in natura qualcosa che possa definirsi
«molteplicità».
Oltre cinquant'anni prima della comparsa dei Paradossi dell'infinito, Kant aveva ritenuto di risolvere
il problema, riconducendo il molteplice all'interno di due intuizioni non
empiriche, ma pure e a priori, lo «spazio» e il «tempo», il cui contenuto,
vuoto, perché precedente l'esperienza sensibile e concreta dei fenomeni, è
quello, rispettivamente, della coesistenza degli
elementi e della successione degli eventi.
La soluzione del problema non parve però sufficiente a Bolzano, in parte perché
non gli sembrava che l'approccio di fondo di Kant, la riconduzione delle due
intuizioni «pure» al pensiero garantisse la
necessaria indipendenza del concetto di molteplicità dall'esperienza sensibile,
in parte anche, e soprattutto, perché l'intera operazione era matematicamente
inservibile, dal momento che sapere come si forma l'idea di molteplicità non ci
dice che cosa si debba intendere per molteplicità. Preferì valersi
dell'antichissimo metodo matematico delle definizioni,
ripercorrendo il cammino tracciato dai Greci e, in particolare da Euclide e
Archimede, e adottando, a suo modo, il criterio sofisticato impiegato da Pascal
nelle Règles pour la démonstration des axiomes.
In altre parole, una definizione matematica non ci dice che cosa sia, ad
esempio, il punto, il numero, ma che cosa dobbiamo
intendere per esso, e la validità della definizione è mostrata da ciò che
possiamo con essa costruire matematicamente. Così, a proposito della
molteplicità, il modo più corretto per rendere matematico questo concetto è quello
di darne una definizione che ne consenta un'applicazione matematica. Per
ottenere questo risultato, l'accorgimento migliore è quello di individuare
l'eventualità di una definizione generale, in cui possa rientrare, come suo
caso particolare, quella di molteplicità.
Ma che cosa può dirsi più generale di una molteplicità o
moltitudine? Un insieme (Menge), la cui definizione è quella di un aggregato (Inbegriff), in
cui il modo di collegamento tra le sue parti(Verbindungsart)
è indifferente. Se, invece, le parti sono collegate tra loro, come nel caso
dell'addizione, l'insieme è definibile come una somma di parti (Summe). Riconducendo ogni grandezza matematica a questa
definizione, è possibile definire anche un insieme infinito, «la cui proprietà
caratteristica è quella di poter essere messo in corrispondenza biunivoca con
un suo sottoinsieme».
Invitiamo, a questo punto, il lettore, anche se profano di
cose matematiche, a non lasciarsi spaventare da un linguaggio che può parergli
criptico e a riflettere su quanto segue. Immaginiamo di prendere in
considerazione la forma pura di una proposizione o enunciato, ossia quella che
Bolzano chiama «proposizione in sé» ed esaminiamo la definizione datale da
Bolzano: «Per proposizione in sé intendo un qualunque enunciato asserente che
una cosa è o non è; senza tenere conto se questo enunciato sia vero o falso, se
esso sia stato espresso o non espresso a parole da qualcuno, anzi, se esso sia
stato o non pensato nella mente di qualcuno». Potenzialmente, il numero delle proposizioni
in sé è pressocché stellare o, più esattamente, esso disegna un insieme
infinito, i cui elementi sono tutti quegli enunciati che asseriscono la
relazione tra una cosa e una sua proprietà, del tutto indipendentemente dal
fatto che gli asserti siano veri o, per contro, falsi. L'insieme degli
enunciati è, perciò stesso, in corrispondenza con ciascuno degli enunciati e, a
sua volta, ciascuno di essi è in corrispondenza con l'insieme o, più
esattamente, con la regola di formazione dell'insieme, il quale prevede asserti
che enunciano la relazione tra una cosa qualsiasi e una sua proprietà.
Chiedamoci, ora, se questo insieme infinito sia unicamente potenziale o, come
riteneva Bolzano, «attuale». La risposta è sì. Perché?
Ricorriamo ad un'argomentazione per assurdo. Diciamo che
tutti gli enunciati dell'insieme sono falsi come, ad esempio, «Chirac è
l'attuale re di Francia», «Praga è una città della Sicilia», e che non si può
trovare alcun insieme che non contenga proposizioni false. Possiamo allora affermare
che «tutte le proposizioni sono false» (a). Ma, se tutte le proposizioni sono
false, anche la proposizione (a) è falsa, ma se è falsa, allora non è vero che
tutte le proposizioni sono false. C'è almeno, dunque, una proposizione vera, se
non altro quella che afferma «non è vero che tutte le proposizioni sono false»
(b), ma allora sarà vera anche la proposizione «è vero che non è vero che tutte
le proposizioni sono false» (c) e, conseguentemente, sarà vera la (d) che
afferma la verità di (c), la (e), che afferma la verità di (d) e così via. In
una parola, abbiamo configurato un insieme nel contempo vero e infinito, che
però è attuale, dal momento che la verità di
(b) contiene in atto tutte le verità, da (c) a (e) a (n).
La portata di queste considerazioni di Bolzano, che il
lettore può ritrovare nei Paradossi e anche e
soprattutto nella Wissenschatslehre (Dottrina della scienza, 1837) - di cui si auspica da tempo
la traduzione italiana - è stata immensa. Per quanto concerne la matematica,
questa prospettiva ha gettato le basi della moderna teoria degli insiemi. Per
quel che riguarda la logica, essa ha reso possibile le innovazioni di Tarski e
la creazione della logica matematica. Ma forse ancora più significative sono
state le conseguenze nel pensiero speculativo contemporaneo. I due pensatori
che sono maggiormente debitori a Bolzano sono Husserl ed Heidegger. Il primo ne
ha tratto ispirazione per l'impianto della fenomenologia pura, una teoria delle
costruzioni logiche dell'io, che Husserl pretendeva fosse del tutto purificato
di ogni traccia di psicologismo. Il secondo per la sua teoria della verità, una
dimensione, quest'ultima, in grado di sforare la «chiacchiera» - che comprende
le stesse teorie scientifiche - e di farci attingere l'autentico che pur si cela nella «chiacchiera». Occorre però
chiedersi se la lezione teoretica di Bolzano fosse davvero quella che Husserl,
Heidegger e gli stessi logici e matematici hanno creduto di trarne. Francamente
pensiamo di no.
Fare dell'infinito logico matematico il ponte per entrare
nella verità - la quale, si badi bene, non è tale in quanto viene pensata da
Dio, giacché, semmai, Dio è tale perché può pensare la verità senza farsene
travolgere - equivale, piuttosto, a celebrare l'utopia della scienza che può
definirsi certa e sicura perché fondata sulla verità. La disperata ricerca
degli studiosi di Santa Fè, intesi a individuare un algoritmo universale in
grado di spiegare il tutto, è, a ben guardare, un ritorno al sogno di Bolzano.
Il problema, che a questo punto si pone, è il seguente: può reggere questa
utopia al cimento con la dialettica, in una parola con la storia? Forse sì, ma
ad una condizione: avere il coraggio di riconoscere la ricerca della verità come
la regola aurea della «morale provvisoria» degli scienziati, un approccio senza
il quale non si può procedere nelle indagini, ma che va messo sempre in
discussione. Se, come voleva Platone, è giusto dire «non entri qui nessuno che
non conosca la matematica», non sarà forse altrettanto giusto, nell'interesse
stesso delle scienze, avere abbastanza coraggio per uscire da un qualsiasi
cielo geometrico, anche se indubbiamente suggestivo come quello di Bolzano?
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