RASSEGNA STAMPA
8 SETTEMBRE 2002
RASSEGNA STAMPA | 8 SETTEMBRE 2002 |
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«E
ora, la teoria degli insiemi», si potrebbe dire con l'espressione di Kurt
Gödel che John W. Dawson jr. ha posto a titolo dei capitolo della biografia
(«Dilemmi logici. La vita e le opere di
Kurt Gödel», Bollati Boringhieri, Torino 2001, pagg. 366, euro 46,48) del
grande logico che tratta dei suoi lavori degli anni Trenta. I problemi
matematici e filosofici posti dalla moderna teoria assiomatica degli insiemi
dominano infatti gran parte degli scritti pubblicati da Gödel tra il 1938 e il
1974, raccolti nel secondo volume delle sue Opere
(Kurt Gödel, «Opere», volume 2, 1938-1974, Bollati Boringhieri, Torino
2002, pagg. 388, euro 62,00) che esce in questi giorni in libreria in
traduzione italiana a cura di Edoardo Ballo, Gabriele Lolli e Corrado
Mangione. I risultati che hanno reso il nome di Gödel familiare anche ai non
specialisti. a cominciare dal celebre teorema di incompletezza, il teorema di
Gödel per antonomasia sono stati da lui ottenuti negli anni della gioventů
trascorsa a Vienna, e pubblicati nel primo volume delle sue Opere (Bollati Boringhieri, Torino 1999,
cui il Sole 24Ore Domenica del 28 novembre 1999 dedicň uno speciale di quattro
pagine).
Dopo
un periodo di profonda depressione, che annunciava le gravi turbe psichiche che
lo hanno accompagnato sino alla morte, alla fine degli anni Trenta Gödel lasciň
definitivamente Vienna per stabilirsi a Princeton, dove trascorse il resto dei
suoi giorni senza mai piů rimettere piede in Europa. Questo volume si apre con una monografia frutto delle sue lezioni
a Princeton, in cui Gödel dimostra che se gli usuali assiomi della teoria degli
insiemi non portano a contraddizioni, allora essi rimangono coerenti se si
aggiunge come ulteriore assioma il cosiddetto «assioma di scelta», che per ogni
insieme assicura l'esistenza di una funzione, definita sulla famiglia del
sottoinsieme non vuoti dell'insieme, che a ogni sottoinsieme associa un suo
elemento. Con una strategia del tutto
simile a quella seguita per, dimostrare il suo teorema di incompletezza, Gödel
forniva una prova della coerenza relativa dell'assioma di scelta e dell'ipotesi
del continuo di Cantor con gli assiomi della teoria degli insiemi.
Come
scriverŕ nel 1947, «il problema del continuo di Cantor č semplicemente la
questione: quanti sono i punti di una retta nello spazio euclideo? In altri termini, la questione č: quanti
insiemi diversi di interi esistono?».
L'ipotesi formulata da Cantor nel 1878 era che l'insieme piů che
numerabile di numeri reali puň essere posto in corrispondenza biunivoca con
tutti i numeri reali, cioč che non esiste alcun insieme con cardinalitŕ
compresa tra quella del numerabile e quella del continuo. Quell'articolo di Gödel ha natura espositiva
e non contiene risultati tecnici nuovi la soluzione dei problema fu poi
ottenuta da Paul Cohen nel 1964 - ma consente di approfondire il suo punto di
vista filosofico in favore del platonismo.
L'interesse di Gödel per la filosofia divenne crescente negli anni. «Uno degli aspetti piů interessanti della teoria della relativitŕ per chi abbia una mentalitŕ filosofica scriveva nel 1949 - consiste nel fatto che essa ha fornito nuove e sorprendenti intuizioni sulla natura del tempo». Le "sorprendenti intuizioni" di Gödel a sostegno delle tesi di Parmenide, Kant «e gli idealisti moderni che negano l'oggettivitŕ del cambiamento», si basavano su un nuovo tipo di soluzioni cosmologiche da lui stesso trovate per le equazioni della teoria della relativitŕ generale di Einstein. In un primo lavoro del 1949 Gódel stupiva i colleghi di Princeton per le sue conoscenze di fisica, dimostrando che le equazioni di Einstein ammettevano «una soluzione rotante che non era espansiva ed era uguale in tutti i punti dello spazio e del tempo» e aveva «la curiosa proprietŕ» di implicare la possibilitŕ di viaggiare nel passato, con gli evidenti paradossi che ne derivano. E' vero, riconosceva Gödel, che il nostro universo non puň essere rappresentato da quel particolare tipo di soluzioni. Ma esistono anche modelli cosmologici rotanti "piů ragionevoli", soluzioni rotanti espansive presentate da Gödel in un secondo lavoro, che precludono la possibilitŕ di tali viaggi e tuttavia lasciano aperta la questione dell'esistenza di un tempo assoluto. Un'incursione nella fisica, corredata da alcune frammentarie e enigmatiche osservazioni, che lasciano solo intravedere alcune delle idee filosofiche elaborate in solitudine dal grande logico.