RASSEGNA STAMPA

1 AGOSTO 2002

Che cosa si nasconde dietro la Congettura di Poincaré? Di recente il web ha diffuso la notizia che il matematico inglese Martin J. Dunwoody fosse riuscito a dimostrare la celebre formulazione, misteriosa per la maggior parte dei mortali. I pochi ardimentosi che osavano scaricare dal sito del Department of Mathematics dell'Università di Southampton il preprint «A proof of the Poincaré conjecture» si trovavano di fronte a sei paginette fitte di oscuri tecnicismi. Risonanza molto minore ha avuto l'annuncio della scoperta da parte del topologo Colin Rourke (fra i massimi esperti) di una lacuna nell'argomentazione di Dunwoody. In attesa che la comunità scientifica internazionale accerti se la lacuna possa essere colmata facilmente o meno, se sia semplicemente frutto di errore o se apra inattese prospettive di ricerca, proviamo a capire quale sia, nella matematica degli ultimi cento anni, l'importanza della congettura di Poincaré, come nodo teorico che ha dato origine a nuove idee, e queste ultime a nuovi problemi, con un effetto a cascata che è il segreto della inesauribile fecondità interna della matematica. Uno dei meccanismi più tipici attraverso i quali si articola il pensiero matematico è quello della classificazione. Anzi, secondo la definizione, solo in apparenza burlesca, data dall'eroe eponimo della congettura, Jules-Henri Poincaré, la matematica sarebbe proprio «l'arte di dare lo stesso nome a cose diverse». Naturalmente, sarebbe insensato, oltreché inutile, elaborare una tassonomia fantasiosamente arbitraria, come nella famosa enciclopedia cinese ricordata in uno degli apologhi di Borges. Al contrario, occorre stabilire criteri omogenei e significativi che permettano di raggruppare insieme oggetti «differenti nella sostanza», ma «simili nella forma» e di pervenire così a un censimento esaustivo. Per fare un esempio elementare, è possibile classificare i poligoni semplicemente in base al numero dei lati, anche se è ovvio che esistono infiniti triangoli differenti o infiniti pentagoni differenti. Nulla vieta, in una seconda fase, di raffinare questa classificazione, (distinguendo, poniamo, tra rettangoli isosceli e scaleni, o tra dodecagoni regolari e quelli che sono il perimetro di una stella di David), o al contrario di inventare una classificazione molto più semplice, immaginando che i lati non siano bastoncini rigidi, bensì cordicelle elastiche, che possono essere stirate e incurvate a piacimento. In questo senso, i poligoni sono «simili nella forma», perché è sempre possibile deformarli fino a farli diventare una circonferenza, o, più in generale, una qualunque curva chiusa. I criteri di classificazione degli oggetti geometrici che contemplano la possibilità di deformarli liberamente (ma senza tagli né strappi né incollature) sono alla base di quella disciplina matematica che va sotto il nome di topologia. Se dal punto di vista topologico, come abbiamo detto, tutte le curve chiuse sono indistinguibili, non così accade per le superfici chiuse: ad esempio, una ciambella (un toro, come dicono i matematici) non potrà mai essere trasformata in una sfera, perché il buco sopravvive a ogni deformazione. Per rendere rigorosa la classificazione delle superficie - già essenzialmente nota ai matematici della seconda metà dell'Ottocento - si deve usare un armamentario matematico abbastanza sofisticato, che permette di formalizzare l'idea di invariante topologico. Il concetto più importante è quello di gruppo fondamentale, che nasce dall'idea di studiare le curve chiuse che si possono tracciare sulla superficie stessa. Su una sfera - basta fare un piccolo esperimento con un melone e qualche elastico - due curve chiuse qualsiasi si riescono sempre a trasformare l'una nell'altra; nel caso di una ciambella, invece, non è difficile (provare per credere) trovare due curve chiuse non equivalenti. Ma che cosa accade in dimensione superiore, cioè nel caso di superfici a tre o quattro o diecimila dimensioni? Il fatto di avere a che fare con spazi aventi un numero di dimensioni maggiore di tre non deve essere considerato una stramberia da matematici. Naturalmente, è assai difficile, se non impossibile visualizzare questi spazi: tutti sapremmo, almeno in linea di principio, determinare quali sono le ombre bidimensionali proiettate da un cubo tridimensionale, mentre ci troveremmo in grave imbarazzo a ricostruire le «ombre» tridimensionali di un ipercubo (sebbene Salvador Dalì in Corpus hypercubicus abbia rappresentato lo sviluppo tridimensionale di ipercubo). Ma concettualizzare oggetti geometrici a molte dimensioni è invece abbastanza semplice. Se pensiamo a tre palle che rotolano su un tavolo da biliardo come ad unico oggetto, questo oggetto si muove in uno spazio a sei dimensioni, perché ci servono sei numeri per individuare la sua posizione. Per un'ape che ronza attorno a un fiore, possiamo immaginare, è importante anche l'intensità del profumo e non solo la propria posizione nello spazio: se l'ape volteggia in modo che la somma della sua distanza dal fiore e dell'intensità del profumo si mantenga costante, ecco che un matematico potrebbe dire che essa si muove su una ipersfera in uno spazio a quattro dimensioni (una tri-sfera). Più seriamente, ricordiamo che alcune teorie della fisica moderna si formalizzano mediante strutture geometriche aventi un numero di dimensioni maggiore di tre: la relatività einsteiniana prevede uno spazio-tempo quadridimensionale, mentre la più recente teoria delle stringhe ipotizza l'esistenza di dieci dimensioni fisiche, sei delle quali «compattificate» in iperspazi minuscoli con una geometria e una topologia molto intricate. Dato che la sfera è la più semplice delle superficie bidimensionali, Poincaré, nel 1904, ipotizzò che così fosse anche in dimensione superiore, congetturando che la tri-sfera è l'unica superficie tridimensionale chiusa (e orientabile, per essere precisi) sulla quale tutte le curve chiuse sono deformabili l'una nell'altra. Questo è l'inespugnabile problema - successivamente esteso a ipersfere di dimensione qualunque - che ha sfidato l'ingegnosità dei matematici per quasi un secolo. Curiosamente, il caso più ostico da trattare è proprio quello di dimensione tre, perché in dimensione superiore gli oggetti geometrici si riescono a deformare con maggiore libertà. Nel 1960 Stephen Smale dimostrò la congettura di Poincaré per le ipersfere di dimensione maggiore o uguale a cinque. In dimensione quattro, la dimostrazione della congettura è stata ottenuta da Michael Freedman nel 1982, come conseguenza del suo teorema di classificazione delle superfici quadridimensionali (ma alcuni importanti problemi restano a tutt'oggi senza risposta). Per quanto riguarda, infine, la dimensione tre, i passi in avanti più significativi - prima dell'annuncio di Dunwoody, che è prematuro valutare - sono stati compiuti da William Thurston, che, in un vero e proprio tour de force, è riuscito, negli anni '70, a classificare le otto possibili geometrie tridimensionali.
Molti dei concetti fondamentali e delle idee più innovative della geometria e della topologia del Novecento - ad esempio le nozioni di gruppo di omotopia o di cobordismo - sono stati elaborati nel tentativo, o nella speranza, di aprire una strada verso la dimostrazione della congettura di Poincaré. E non certo per una sorta di ossessione enigmistica da parte dei matematici, ma perché dimostrare (o confutare) questa congettura si è rivelato essenziale per ottenere una soddisfacente classificazione delle superfici in dimensione maggiore o uguale a tre: senza una classificazione sarebbe impossibile non solo comprendere questi enti geometrici, ma, in fondo, anche riuscire a immaginarli, a pensarli. Per rifarsi al titolo di un libro di Georges Perec, anche in matematica pensare/classificare è un'endiadi che non si può sciogliere.

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vedi anche Il pensiero matematico