RASSEGNA STAMPA

19 MAGGIO 2002

Dimostrata la congettura di Poincaré?  La notizia è finita sulle prime pagine dei giornali, ma il punto di do­manda è d'obbligo.  A dubitare è lo stesso autore della "dimostra­zione", il matematico Martin J. Dunwoody dell'Università di Sou­thampton, che intitola il suo lavoro «Una dimostrazione della conget­tura di Poincaré?».  Col punto di domanda.  In tutta onestà Dunwoo­dy parla di una «prospective pro­of», una dimostrazione "possibile" o "sperabile", e premette un'obiezione del collega Colin Rourke, che solleva forti dubbi sulla validità di un certo enunciato necessa­rio alla dimostrazione.  Dubbi che Dunwoody spera di superare. 

Tutto ciò fa parte del lavoro quo­tidiano del matematico cercare di dimostrare teoremi e congetture più o meno famose e discutere i propri risultati coi colleghi.  Fino a ieri in convegni o per lettera.  Oggi per e-mail o magari, come ha fatto Dunwoody, affidando il proprio la­voro a una bottiglia virtuale, lascia­ta cadere nel mare di Internet.  Del tutto insolito è invece il fatto che, prima ancora di arrivare a una rivista di matematica, l'articolo pesca­to nella Rete sia finito nella redazio­ne dei quotidiani.  Qui il punto di domanda è sparito.  Dalla speranza siamo passati alla certezza: l'enig­ma di Poincaré è stato svelato e il matematico dell'Università di Sou­thampton è già diventato un milionario (in dollari).

Ma che c'entra un premio da moderno signor Bonaventura con la matematica?  E cosa dice la congettura formulata nel 1904 dal gran­de matematico francese, per la cui dimostrazione qualcuno è disposto a pagare un milione di dollari?

Immaginiamo di avere un elasti­co che avvolge un'arancia.  Si può pensare di contrarlo in un punto, senza strapparlo e senza lasciare la superficie dell'arancia.  Se invece di un'arancia abbiamo tra le mani una ciambella la stessa cosa non si può sempre fare. In matematica si parla di cammini chiusi contraibili in un punto e si dice che superfici come quella dell'arancia sono «semplice­mente connesse», mentre non lo sono superfici come quella della ciambella.  Poincaré pensava che la superficie della sfera fosse essenzialmente caratterizzata da quella proprietà di connessione, e conget­turò che la cosa fosse vera anche per il caso della 3-sfera (cioè un'ipersfera nello spazio a 4 dimen­sioni).  La congettura è stata poi generalizzata a n-sfere di dimensio­ne qualunque.  La sua dimostrazione si è rivelata particolarmente difficile.  Per aver avuto successo nel caso «n maggiore o uguale a 5» Stephen Smale ha ricevuto nel 1966 la medaglia Fields, il massi­mo riconoscimento cui può, aspira­re un matematico.  Analogo ricono­scimento ha ottenuto nel 1982 Mi­chel Freedman, che ha dimostrato la congettura nel caso «n uguale a 4». Restava (e resta) aperto l'origi­nario caso formulato da Poincaré.

Se fosse corretta, la dimostrazio­ne prospettata da Dunwoody sareb­be un grandissimo risultato matematico.  Degno di gloria e, più pro­saicamente, di un milione di dolla­ri. La congettura di Poincaré figura infatti tra i sette Millenium Prize Problems, solennemente annunciati dal Clay Mathematics Institute di Cambridge (Massachusetts) due anni fa al Collège de France.  Per dare maggiore concretezza alla cosa, il Clay Institute ha deciso di assegna­re una dote di un milione di dollari alla soluzione di ciascun problema.  Con un paio di condizioni. Che la soluzione, sottoposta al vaglio degli esperti, sia pubblicata in una rivista di matematica, e che per al­meno due anni dopo la pubblicazione non siano stati trovati errori e contro-esempi.  Nulla di tutto ciò per ora è accaduto, per nessuno dei Prize Problems. Forse se ne riparle­rà fra due anni.

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vedi anche Il pensiero matematico