RASSEGNA STAMPA

18 NOVEMBRE 2001

Il trattato del gesuita Saccheri che per eliminare la "pecca" di Euclide legata al postulato delle parallele aprì senza volerlo la strada alla nascita dei sistemi non-euclidei

Gerolamo Saccheri, "Euclide liberato da ogni macchia", a cura di Pierangelo Frigerio. Introduzione di Imre Toth ed Elisabetta Cattanei, Bompiani, Milano 2001, pagg. 380, L.46.000, 23,76. Da ricordare, Fabio Bellissima-Paolo Pagli, "Consequentia mirabilis. Una regola logica tra matematica e filosofia", Leo Olschki, Firenze 1996, pagg. 232, s.i.p.

Quali sono i "nei" da cui il gesuita settecentesco Gerolamo Saccheri intende liberare i "bellissimi, e mai abbastanza lodati" Elementi di Euclide? Quali le "pecche" che molti geometri, antichi e moderni, hanno rimproverato al grande alessandrino? Il primo di quei "nei" - che ha assicurato la fama dell'opera di Saccheri - riguarda la definizione delle rette parallele, e con essa il celebre assioma delle parallele: "Se una retta secante altre due linee rette, giacenti nello stesso piano, forma con esse, dalla medesima parte, due angoli interni che sommati sono minori di due retti, allora le due rette prolungate da quella parte all'infinito, si intersecano fra loro". Non si tratta di mettere in dubbio la verità dell'enunciato. In discussione è la sua natura di assioma quasi che, per "i suoi soli termini" intesi correttamente, "facesse fede di sé stesso". L'insuccesso dei tentativi degli antichi di darne una dimostrazione suggerisce a Saccheri una via del tutto originale. Un'applicazione della consequentia mirabilis, il ragionamento (per assurdo) oggetto della sua Logica demonstrativa del 1697, che si può schematizzare in questo modo: se dalla negazione di una proposizione A si deduce A, allora A è vera. "Questa infatti sembra essere la caratteristica primaria di ogni verità fondamentale - afferma Saccheri - che partendo dalla sua negazione assunta come vera, mediante una forma splendida di confutazione, essa possa alla fine essere ricondotta a se stessa". Consideriamo un quadrilatero bi-rettangolo (cioè con due angoli retti) e isoscele. Cosa si può dire degli altri due angoli? Sono uguali tra loro, dimostra Saccheri, e poi possono essere entrambi retti, oppure ottusi oppure acuti. Ognuna di queste tre ipotesi, se è vera in un sol caso, "in ogni caso è sempre la sola vera". Su questo carattere di universalità insistono Imre Toth ed Elisabetta Cattanei nel saggio introduttivo per sottolinearne le implicazioni filosofiche. "L'universalità è chiaramente un predicato aspecifico, puramente ontico". Quello che vale per i quadrilateri vale anche per i triangoli. Ebbene, "obbedisca l'universo di tutti i triangoli all'ortodossia euclidea o all'eterodossia non-euclidea, o sia votato a una assoluta miscredenza", in virtù del teorema di Saccheri "rispetto alla somma degli angoli esso non potrà essere che "cattolico", "katólon"". La "promiscuità geometrica è per principio esclusa". In altri termini, "la totalità degli oggetti non euclidei rappresenta in questo caso una sfera ontica in sé chiusa, non meno completa e assoluta della totalità assoluta degli oggetti euclidei: la sfera ontica del "non-essere" che è opposta alla sfera ontica del l'essere. L'una contiene "tutto ciò che è". Ma l'altra non è vuota: essa contiene "tutto ciò che non è"". Verrebbe da dire"Ceci n'est pas une pipe", ricordando il titolo del celebre quadro di Magritte che ritrae una pipa. L'universo dei triangoli euclidei e quello dei triangoli non-euclidei hanno pari statuto. Non si può non parlare e studiare le proprietà di questi ultimi, dice Toth, "sebbene siano stati immessi nel discorso geometrico al puro scopo di parlarne nei termini di universi non-esistenti". È una situazione che Toth accosta al "parricidio di Parmenide" di cui Platone si accusa nei suoi Dialoghi: "al non-essere sembra in un certo senso convenire l'essere",dice nel Sofista, e "il non-essere è con assoluta certezza ugualmente oggetto di cognizione quanto l'essere", ribadisce nel Parmenide. L'affermazione ipotetica di un triangolo euclideo e di uno non euclideo non è né vera né falsa. Cosa che, osserva Toth, "contraddice palesemente gli assiomi dell'ontologia eleatica" per cui solo "l'ente è" e "il non-ente non è" "e non può neppure essere oggetto di ricerca e di conoscenza". Saccheri ha facilmente ragione dell'ipotesi dell'angolo ottuso dimostrando che "è assolutamente falsa, poiché si distrugge da se stessa". Infatti da essa si deduce la verità dell'enunciato euclideo, e dunque per consequentia mirabilis quest'ultimo (e questo solo) è vero. Ma l'ipotesi dell'angolo ottuso, a differenza delle altre due, è inconciliabile con la proprietà fondamentale della retta di essere infinita (in entrambi i sensi). Questo risultato, sottolineano i curatori, segnala la "svolta ontologica" alla quale Saccheri sottopone la geometria. Da qui, egli scrive, "comincia la diuturna battaglia" contro la "nemica ipotesi" dell'angolo acuto, la sola che si oppone alla verità dell'assioma euclideo. Nel corso di questa battaglia Saccheri produce lo straordinario corpus di geometria assoluta che ne ha fatto un "precursore" della geometria non euclidea. La "nemica ipotesi" dell'angolo acuto, dichiara infine Saccheri, "ripugna alla natura della retta". La dimostrazione di questo "teorema" è tanto prolissa e confusa quanto rigorosi sono gli argomenti addotti nelle dimostrazioni precedenti. "Ci si chiede ancora, scrivono Toth e Cattanei, come uno spirito tanto acuto e profondo quale era Saccheri possa, alla fine delle sue ricerche, cadere vittima di un errore così grossolano", possa cioè rifiutare l'esistenza della retta non-euclidea "per la semplice ragione che essa contraddice l'intuizione elementare che ci si fa di una linea retta". Saccheri non è un nuovo Cristoforo Colombo, che alla ricerca di una nuova via per le Indie scopre un nuovo continente. Egli è convinto di aver raggiunto le Indie, di aver avuto ragione della "nemica ipotesi" dell'angolo acuto. Non c'è posto per l'ironico stupore di Paul Valere per "questo Saccheri" che "senza confessarlo socchiude una porta verso le future audacie della geometria", ma in fondo "non era, è vero, che un gesuita". Saccheri è leale con le sue proposizioni. Ma, nonostante le sue convinte affermazioni, l'Euclides di Saccheri non libera gli Elementi euclidei da alcun "neo" (o "macchia" o "pecca" - secondo l'instabile traduzione di naevus che viene data in questo libro). E tuttavia, come dice Toth, con l'opera del gesuita "la geometria perde l'innocenza". L'"esotica bellezza" delle sue deduzioni non-euclidee esercita sui posteri una seductio ad absurdum. Se dopo Saccheri non si può più ignorare che dalla negazione del postulato euclideo scaturiscono geometrie non-euclidee perfettamente coerenti, occorre tuttavia attendere ben oltre un secolo perché questa scandalosa perdita sia pubblicamente dichiarata e universalmente riconosciuta.

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vedi anche Il pensiero matematico