 a
cura di
Corrado Mangione
Università
degli Studi di Milano
Friedrich
Ludwig Gottlob Frege nacque a Wismar, nel Macklenburg,
l’8 novembre 1848. Dal 1869 al 1873 frequentò
l’università, i primi due anni a Jena, quindi cinque
semestri a Gottinga, dove seguì corsi di matematica,
fisica, chimica e filosofia, e si addottorò (discutendo
la tesi Über eine
geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der
Ebene, Su una
rappresentazione geometrica delle figure immaginarie nel
piano, 1873). Tornò quindi a Jena
dove ottenne la Venia docendi (una sorta di libera docenza) presso la facoltà di
filosofia nel 1874 presentando la dissertazione Rechnungsmethoden, die sich auf eine Erweiterung des Grössenbegriffes
gründen (Metodi
di calcolo basati su un ampliamento del concetto di
grandezza). Nel 1879 venne nominato professore
all’università di Jena, e presso questa università si
svolgerà tutta la sua carriera accademica, che vedrà la
sua nomina ad “ausserordentlicher” (che non ha, almeno nell’attuale ordinamento
nostrano, un corrispondente italiano preciso) nel 1896 e
il pensionamento nel 1918. Muore a Bad Kleinen, nei pressi
di Wismar, dove viene seppellito, il 26 luglio 1925.
Il
1879 è un anno fondamentale per la logica e la filosofia
della matematica del Novecento (in un convegno
internazionale tenutosi a Orbetello un secolo dopo, nel
1979, esso viene ricordato come “l’anno di nascita di
una nuova filosofia della matematica”): in quell’anno
Frege pubblica un volumetto di neppure novanta pagine, dal
titolo Begriffsschrift,
eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des
reinen Denkens (che si può tradurre come
Ideografia, un linguaggio in formule del pensiero puro a
imitazione di quello aritmetico) che rappresenta il
primo passo di quello che sarà lo scopo di (quasi) tutta
la sua vita di ricercatore scientifico e filosofico: la
realizzazione del suo programma logicista ossia la “dimostrazione” che tutta la
matematica (esclusa la geometria) non sia altro che “un
ramo sviluppato della logica”. Frege non è il primo né
il solo che afferma la natura logica del numero
(basterebbe ricordare il nome di Gauss fra i predecessori
e quello di Dedekind fra i suoi contemporanei) ma è
certamente il primo che si accinge a provare, si potrebbe
dire sperimentalmente, questa affermazione, con due passi
fondamentali:
1)
dare alla logica una veste che permetta di vederla
come teoria di riferimento e nello stesso tempo teoria che
renda possibile la riduzione della matematica alla logica
stessa;
2)
definire
in termini logici i concetti fondamentali della matematica
(e quindi in particolare i concetti di numero naturale,
razionale, reale) e derivare da principi logici i principi della matematica
(inizialmente almeno quelli dell’aritmetica).
Già
l’Ideografia pone le basi del programma logicista: vi viene presentata
una logica che è nella sostanza la versione attuale e
quindi comprende la sistemazione assiomatica di una logica
proposizionale, una logica predicativa del primo ordine
con la possibilità almeno di trattare elementi del
secondo ordine. La si può considerare la prima
sistemazione moderna della logica, presentata con un
rigore difficilmente raggiunto anche dopo Frege. Pur senza
volersi (e potersi) trattenere sulle numerose novità
logiche qui presentate da Frege, non si può tacere almeno
della sua analisi della proposizione in funzione e
argomento (piuttosto che in soggetto e predicato), e
dell’introduzione dei quantificatori. Accanto a un
secondo capitolo dedicato a esemplificare la derivazione
logica di alcune formule, ve n’è un terzo dedicato alla
definizione logica del processo di induzione ossia, come
dirà Frege successivamente, del “passaggio da n
a n+1”
essenziale per la riduzione dell’aritmetica alla logica.
L’Ideografia non incontrò il favore dei contemporanei,
probabilmente anche a causa del linguaggio simbolico assai
complesso, di andamento bidimensionale, adottato da Frege,
ma più che criticata venne semplicemente ignorata, cosa
che lo amareggiò per il resto della sua vita scientifica.
Col suo linguaggio simbolico e il suo calcolo logico Frege
riteneva di aver concretizzato sia la charactersitica
universalis sia il calculus
ratiocinator leibniziani; circa questa sua
convinzione, in particolare nei riguardi della precedente
sistemazione booleana (che Frege riguardava come mero calculus)
o del coevo simbolismo
peaniano (che poi risulterà
“vittorioso” anche grazie a Russell,
ma che Frege riguardava invece come pura
characteristica) ci sarebbe da fare un lungo discorso,
cosa qui impossibile.
Nel
1884, dopo vari scritti che tentavano appunto di difendere
la sua scelta linguistica (alcuni dei quali non gli furono
accettati per la stampa), Frege pubblica le Grundlagen der Arithmetik (I
fondamenti dell’aritmetica)
dove presenta in termini non simbolici la definizione
di numero naturale come oggetto logico (estensione) la cui
attribuzione riguarda un concetto. I Fondamenti
rappresentano un gioiello insuperato della letteratura
filosofico-scientifica, la cui lettura è raccomandabile a
qualunque cultore di filosofia.
Malgrado
la cattiva accoglienza, o meglio, come Frege dirà più
tardi, la “mancata accoglienza” riservata all’Ideografia,
quattordici anni dopo, nel 1893, Frege darà alle
stampe il primo volume di quella che è la sua opera
principale, i Grundgesetze
der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet (Leggi fondamentali dell’artimetica derivate ideograficamente)
preceduto, nel ’91 e ’92, da alcuni significativi
lavori nei quali si viene precisando il suo pensiero e
arricchendo la sua teoria, in particolare: Funktion
und Begriff (Funzione
e concetto), Über
das Trägheitsgesetz (Sul
principio d’inerzia), Über
Sinn und Bedeutung (Senso
e significato), Über
Begriff und Gegenstand (Concetto
e oggetto). In questi articoli viene teorizzata la
differenza tra concetto
(che secondo Frege è un ente insaturo, bisognoso di
completamento, ma peculiarmente logico), rappresentazione
(ente esclusivamente soggettivo, che ha sempre bisogno
di un portatore, che quindi è materia per analisi
psicologiche, non logiche) e oggetto (ente saturo, di significato autonomo). Viene quindi
stabilita la natura funzionale del concetto: un concetto
è semplicemente una funzione i cui valori siano solo i
due valori di verità Vero e Falso, questi ultimi
introdotti da Frege come oggetti logici indefinibili. Ma
il contributo più significativo in questo gruppo di
lavori, quello dal quale in effetti dipendono gli altri,
è senza dubbio
Senso e significato, dove viene presentata
l’originale teoria del significato di Frege, che
convincerà molti critici moderni a sostenere che le vere
acquisizioni di Frege appartengano proprio alla critica
del linguaggio: egli sarebbe quindi il primo vero filosofo
moderno del linguaggio. Non ci interesseremo del problema
anche se presenteremo in chiusura una valutazione del
tutto diversa; vediamo invece brevemente di cosa si
tratta. A ogni elemento linguistico fondamentale, nome,
predicato, proposizione, deve essere assicurato (almeno in
una lingua perfetta, degli angeli, come la sua vuole
essere) un significato; e il significato di ogni elemento
linguistico si svolge su due piani, quello del senso e
quello del riferimento (così molti traducono il tedesco Bedeutung,
e così noi qui faremo, allo scopo di evitare cacofonie),
sicché: il senso di un nome proprio è un concetto
individuale, variamente connotato, il suo riferimento un
oggetto; il senso di un predicato la proprietà (o
relazione, a seconda del numero di posti del predicato)
che esso esprime, il suo riferimento l’estensione del
predicato stesso (ossia la classe di tutti e soli gli
oggetti che soddisfano il predicato); va da sé allora che
il senso di una proposizione sarà il pensiero che essa
esprime, mentre il suo riferimento sarà uno dei due
valori di verità Vero o Falso. Senso
e significato è un altro scritto che nessun filosofo
può esimersi dal leggere.
Gli
strumenti simbolici e teorici per la realizzazione del
programma logicista ci sono ora tutti. Il linguaggio dei Grundgesetze
si differenzia di poco da quello dell’Ideografia,
ma due variazioni sono essenziali: una riguarda un segno
di funzione che viene assunta come primitiva allo scopo di
poter rendere l’articolo determinativo della lingua
comune (problema delle descrizioni definite), l’altra
riguarda l’introduzione del concetto di estensione di un
concetto, che chiariamo solo con un esempio. Frege non dà
una definizione esplicita di estensione concettuale, ma
afferma che se nel linguaggio si dispone del segno di
funzione f(x)
che è un concetto, allora si dispone anche del segno e(f(e))
che rappresenta la sua estensione. Si noti che proprio in
questo passaggio si cela l’assunzione incondizionata del
principio di comprensione, secondo il quale a ogni
proprietà (relazione) corrisponde come sua estensione la
classe di tutti e soli gli oggetti che godono di quella
proprietà (che stanno in quella relazione).
Il
sistema dei Grundgesetze
si sviluppa su sei assiomi e numerose regole di
derivazione, tutte esplicitate nell’esposizione del
sistema; in particolare il quinto, decisivo assioma
riguarda le estensioni concettuali, richiedendo che due di
esse siano uguali se e solo se sotto i corrispondenti
concetti cadono gli stessi individui. Non possiamo qui
trattenerci sulle varie definizioni e i vari teoremi
sviluppati simbolicamente da Frege in questo primo volume,
né sul prosieguo del lavoro nel secondo, che apparve solo
dieci anni più tardi, nel 1903. Mi limiterò a ricordare
che nel secondo volume, dopo aver completato la parte
strettamente aritmetica, affronta il problema di una
definizione diretta dei numeri reali, discutendo prima a
lungo le difficoltà delle definizioni allora disponibili,
in particolare, fra le altre, di quelle di Cantor e
Dedekind. La chiusa è affrettata e rimanda alla soluzione
di un problema di esistenza fondamentale nella concezione
di Frege: ma questa fretta è comprensibile.
Nel
giugno del 1902, Frege aveva ricevuto una lettera da parte
di Russell,
nella quale il logico inglese gli comunicava di aver
trovato una difficoltà legata al suo quinto assioma,
quello relativo alle estensioni concettuali: non è
possibile, dato un concetto, considerare tout
court la sua estensione: esistono concetti, uno è
appunto esemplificato da Russell,
per i quali la considerazione della corrispondente
estensione porta a contraddizione (in altri termini: il
concetto di estensione ha struttura logica complessa, non
si può assumerlo come oggetto logico universale). Tipico
esempio è il concetto “non appartenere a se stesso”
la cui estensione (la classe di tutte le classi che non
appartengono a se stesse) non è determinata come classe,
in quanto è contraddittoria (chiedetevi se tale classe
appartiene o no a se stessa!). E’ chiaro quindi che
quello che viene a cadere è proprio il principio di
comprensione, che tuttavia si dimostra facilmente essere
equivalente al (cioè implicare il, ed essere implicato
dal) quinto assioma sopra ricordato. In una nota finale
Frege, comprensibilmente demoralizzato, tenta di superare
la difficoltà limitando in qualche modo l’assioma, ma
anche questa sua disperata via d’uscita sarà
successivamente dimostrata contraddittoria.
Dopo
questa comunicazione che drammaticamente annullava –
almeno questa dovette essere la sua impressione –
l’impegno di tutta una vita, Frege intervenne ancora
sporadicamente nella discussione scientifica e filosofica,
scrivendo sui fondamenti della geometria (circa quali
aveva avuto una fitta corrispondenza con Hilbert fra il
1899 e 1906) nel 1906, opponendosi ancora una volta alla
fondazione formalista dell’aritmetica di Thomae nel 1908
e infine, dopo una lunga pausa, dando alle stampe nel 1918
le tre ricerche logiche Il
pensiero, La
negazione,
Connessioni di pensieri. Dagli scritti postumi
sappiamo che negli ultimi suoi anni aveva rinunciato alla
possibilità di una fondazione logica della matematica,
ritornando su posizioni kantiane con le quali peraltro
concordava ma solo limitatamente alla geometria: ora
ritiene che anche il numero non sia “un puro prodotto
dello spirito”.
Come
ho accennato sopra, Frege viene spesso visto solo come
filosofo del linguaggio, iniziatore della filosofia
analitica ecc. Personalmente ritengo che sia impossibile
separare Frege dai fondamenti della matematica: tutti i
suoi risultati e le sue teorizzazioni sono finalizzati a
quello che ho altrove chiamato un sogno, che durerà
almeno fino a Gödel
del 1931, e cioè a quello di trovare un fondamento
ultimo, incontrovertibile e unico per la matematica, e
tutta la concettualizzazione da lui introdotta è
subordinata e funzionale a questo disegno filosofico di
fondo. La stagione dei fondamenti da lui inaugurata e
perseguita con tanto rigore e con tali risultati, è
certamente ora superata, il sogno è cioè svanito, ma è
stata ricca di conseguenze e di acquisizioni, e ha
contribuito non secondariamente alle attuali nostre
teorizzazioni.
Indicazioni
Bibliografiche
 |
G.
Frege, Logica e aritmetica, a c. di C.
Mangione, Boringhieri, Torino 1965 (in cui sono
tradotti, fra gli altri, Ideografia, Fondamenti
dell’aritmetica, Concetto e
rappresentazione, Oggetto e concetto, Senso
e significato, e parte di I principi
dell’aritmetica) |
|
G.
Frege, Ricerche logiche, a c. di M. Di
Francesco, Guerini e Associati, Milano 1988 |
|
G.
Frege, Senso, funzione e concetto, a c. di C.
Penco ed E. Picardi, Laterza, Roma 2001 (in cui si
trovano le traduzioni di Senso e significato
e Concetto e oggetto) |
|
AA.
VV., La struttura logica del linguaggio, a c.
di A. Bonomi, Bompiani, Milano 1985 (in cui si
trovano le traduzioni di Senso e denotazione,
Concetto e oggetto e Funzione e concetto) |
La
bibliografia su Frege è enorme, così mi limiterò qui a
citare un recente volume italiano che rende conto
dell’interesse ancora vivo per Frege da molti punti di
vista (anche se trascura tutta un’area di ricerca
condotta, anche sul piano tecnico, dai cosiddetti
neo-fregeani) ed è ricco di indicazioni bibliografiche:
|
Nicla
Vassallo (a c. di), La
filosofia di Gottlob Frege,
Angeli, Milano 2003. |
Per
quanto riguarda invece la specifica area del
neo-fregeanesimo si consigliano:
|
C.
Wright, Frege’s conception of numbers as
objects, Scots Philosophical monographs, no. 2
Aberdeen University Press, Aberdeen 1983
|
|
B.
Hale e C. Wright, The reason’s proper study,
Oxford University Press , Oxford 2001 |
|
vedi
la cartina corrispondente
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